Протащить тело через себя: 8 из 13 архимедовых тел обладают свойством Руперта

21 июня 2018

В журнале American Mathematical Monthly опубликована статья Rupert Property of Archimedean Solids, доказывающая, что из 13-ти архимедовых тел 8 обладают свойством Руперта, то есть в них можно проделать отверстие, через которое возможно протащить копию изначального многогранника.

Задача о кубе принца Руперта, по словам английского математика Дж. Валлиса, была сформулирована в английской Гражданской войны.

Изначальный вопрос состоял в том, можно ли проделать в кубе отверстие, чтобы он при этом не распался на части и через него можно было протащить куб такого же размера. Принц поспорил, что это возможно, и с помощью придумавшего решение Валлиса победил в споре.

Следом возник такой вопрос: куб какого наибольшего размера можно протащить через отверстие в единичном кубе? Решение Валлиса, заключавшееся в протаскивании одного куба вдоль пространственной диагонали другого, позволяло протащить только куб со стороной .

Спустя примерно сто лет после формулировки задачи голландский математик Pieter Nieuwland) показал, что возможно протащить куб со стороной  — чуть больше, чем у Валлиса — если протаскивать его не вдоль пространственной диагонали. Также Ньюланд доказал, что это число оптимально, то есть куб большего размера протащить нельзя ни при каком выборе отверстия.


Задача о кубе принца Руперта часто приводилась в книжках по развлекательной математике, наряду с задачей о перемещении дивана, при этом порой демонстрировалось решение Валлиса вместо оптимального.

Свойство многогранника, заключающееся в том, что в нём можно проделать отверстие, через которое возможно протащить копию изначального многогранника, было названо свойством Руперта.

Возник вопрос о том, какие многогранники обладают этим свойством: в первую очередь были исследованы правильные многогранники и многогранники, близкие к правильным, поскольку для них задача проще.

В 1968 году свойство Руперта было доказано для правильных тетраэдра и октаэдра, а в 2016 году — для правильных додекаэдра и икосаэдра. Таким образом, в любом правильном многограннике через подходящее отверстие можно протащить его копию.

 
 

24 мая 2018 года American Mathematical Monthly была опубликована статья Rupert Property of Archimedean Solids за авторством трёх математиков, в которой доказывается, что не только правильные многогранники, но и 8 из 13 архимедовых тел обладают свойством Руперта (см. внизу).

Архимедовы тела — это неправильные, но очень симметричные многогранники. Если все грани правильного многогранника — одинаковые правильные многоугольники, то грани архимедова тела делятся на две группы и каждая состоит из одинаковых правильных многоугольников. Также требуется, чтобы для любых двух вершин существовала симметрия многогранника, переводящая одну в другую.

Названы архимедовыми они в честь древнегреческого учёного Архимеда Сиракузского, который, как пишет Папп Александрийский, впервые перечислил их. Традиционно считается, что архимедовых тел именно 13, хотя ещё 3 многогранника и 2 бесконечных серии многогранников (призмы и антипризмы) удовлетворяют определению выше.

 
 

Источники

  • Статья на сайте Research Gate.
 
Источники:
Протащить тело через себя: 8 из 13 архимедовых тел обладают свойством Руперта
Авторы